Nếu 2 ô bên dưới quá nhỏ, hãy kéo và thả chúng lên đây!
Bài tập 191: Vài bài toán thực tế
1)Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh là các số nguyên sao cho ba số bất kì chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, năm học 2012-2013) HD: Có thể dùng phương pháp chứng minh phản chứng
2)Cho một đa giác đều 50 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số 2. Biết rằng có 20 đỉnh ghi số 1, 30 đỉnh ghi số 2 và các số trên 3 đỉnh liên tiếp bất kì không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích 3 số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên.
Giải thích đề: Giả sử đặt tên các đỉnh của đa giác là: \[{A_1},{A_{2,}}{A_3},...,{A_{50}}\].
Tính tổng: \[({A_1}{A_2}{A_3}) + ({A_2}{A_3}{A_4}) + ... + ({A_{49}}{A_{50}}{A_1}) + ({A_{50}}{A_1}{A_2})\]
-Xét quy luật các số hạng của tổng trên, đặt ẩn, đưa về hệ phương trình
2)Cho một đa giác đều 50 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số 2. Biết rằng có 20 đỉnh ghi số 1, 30 đỉnh ghi số 2 và các số trên 3 đỉnh liên tiếp bất kì không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích 3 số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên.
Giải thích đề: Giả sử đặt tên các đỉnh của đa giác là: \[{A_1},{A_{2,}}{A_3},...,{A_{50}}\].
Tính tổng: \[({A_1}{A_2}{A_3}) + ({A_2}{A_3}{A_4}) + ... + ({A_{49}}{A_{50}}{A_1}) + ({A_{50}}{A_1}{A_2})\]
-Xét quy luật các số hạng của tổng trên, đặt ẩn, đưa về hệ phương trình
1)Giả sử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Gọi độ dài các cạnh là a,b,c,d với a,b,c,d \[ \in {N^*}\] và \[a > b > c > d\].
Vì tứ giác lồi nên ta có \[a < b + c + d < 3a \Rightarrow 2a < a + b + c + d < 4a\] Mà \[a + b + c + d \vdots a \Rightarrow a + b + c + d = 3a\]
Tương tự, ta đặt: \[a + b + c + d = mb;\,\,\,a + b + c + d = nc\,\,\,(m,n \in {N^*}) \Rightarrow 3a = mb = nc\]
Do \[a > b > c \Rightarrow n > m > 3 \Rightarrow m \ge 4;\,\,n \ge 5\]
Mặt khác, ta có: \[3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc \ge 3a + 4b + 5c \Rightarrow \left( {b - d} \right) + 2\left( {c - d} \right) \le 0\] (Vô lí)
Vậy có ít nhất hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
2)Trích đề tuyển sinh lớp 10 ĐHSP TPHCM năm học 2014-2015:
Giả sử đặt tên các đỉnh của đa giác là: \[{A_1},{A_{2,}}{A_3},...,{A_{50}}\].
Tính tổng: \[({A_1}{A_2}{A_3}) + ({A_2}{A_3}{A_4}) + ... + ({A_{49}}{A_{50}}{A_1}) + ({A_{50}}{A_1}{A_2})\]
Tổng trên có 50 số hạng mà mỗi số hạng rơi vào một trong hai loại sau:
-Loại 1: Mỗi bộ có hai số 1 và một số 2
-Loại 2: Mỗi bỗ có một số 1 và hai số 2
Gọi a là số bộ loại 1 và b là số bộ loại 2. Ta suy ra:
-Trong bộ loại 1 có 2a số 1 và a số 2. Trong bộ loại 2 có b số 1 và 2b số 2.
Tổng số đỉnh bằng 1 trong cả 2 bộ là: 2a + b và tổng số đỉnh bằng 2 là: a + 2b. Tuy nhiên vì mỗi đỉnh xuất hiện 3 lần nên ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
2a + b = 60 \\
a + 2b = 90 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 10 \\
b = 40 \\
\end{array} \right.\]
-Mỗi tích của một số hạng thuộc bộ loại 1 là 1.1.2 = 2 và thuộc bộ loại 2 là 1.2.2 = 4
Vậy tổng cần tính là: 10.2+4.40 = 180
Vì tứ giác lồi nên ta có \[a < b + c + d < 3a \Rightarrow 2a < a + b + c + d < 4a\] Mà \[a + b + c + d \vdots a \Rightarrow a + b + c + d = 3a\]
Tương tự, ta đặt: \[a + b + c + d = mb;\,\,\,a + b + c + d = nc\,\,\,(m,n \in {N^*}) \Rightarrow 3a = mb = nc\]
Do \[a > b > c \Rightarrow n > m > 3 \Rightarrow m \ge 4;\,\,n \ge 5\]
Mặt khác, ta có: \[3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc \ge 3a + 4b + 5c \Rightarrow \left( {b - d} \right) + 2\left( {c - d} \right) \le 0\] (Vô lí)
Vậy có ít nhất hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
2)Trích đề tuyển sinh lớp 10 ĐHSP TPHCM năm học 2014-2015:
Giả sử đặt tên các đỉnh của đa giác là: \[{A_1},{A_{2,}}{A_3},...,{A_{50}}\].
Tính tổng: \[({A_1}{A_2}{A_3}) + ({A_2}{A_3}{A_4}) + ... + ({A_{49}}{A_{50}}{A_1}) + ({A_{50}}{A_1}{A_2})\]
Tổng trên có 50 số hạng mà mỗi số hạng rơi vào một trong hai loại sau:
-Loại 1: Mỗi bộ có hai số 1 và một số 2
-Loại 2: Mỗi bỗ có một số 1 và hai số 2
Gọi a là số bộ loại 1 và b là số bộ loại 2. Ta suy ra:
-Trong bộ loại 1 có 2a số 1 và a số 2. Trong bộ loại 2 có b số 1 và 2b số 2.
Tổng số đỉnh bằng 1 trong cả 2 bộ là: 2a + b và tổng số đỉnh bằng 2 là: a + 2b. Tuy nhiên vì mỗi đỉnh xuất hiện 3 lần nên ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
2a + b = 60 \\
a + 2b = 90 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 10 \\
b = 40 \\
\end{array} \right.\]
-Mỗi tích của một số hạng thuộc bộ loại 1 là 1.1.2 = 2 và thuộc bộ loại 2 là 1.2.2 = 4
Vậy tổng cần tính là: 10.2+4.40 = 180
Các User đã xem: Nguyễn Phúc Thịnh1 Ngô Vũ Thanh Hoàng3
Lưu ý! Để tham gia bình luận bạn phải đăng kí thành viên và đăng nhập!
Lê Khả Doanh
lớp:9
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Lê Khả Doanh
Gọi các cạnh của tứ giác lồi lần lượt là $a, b, d, c$ (trong đó $a,b,c,d \in Z$ và $a \vdots d,\,\,b \vdots d,\,c \vdots d$).
Giả sử $a, b, d, c$ không bằng nhau và $a > b > c > d$, $d \ge 1,\,c \ge 2,\,b \ge 3,\,a \ge 4$
Đặt
$a + b + c = dx$
$b + c + d = ay$
$a + d + c = bv$
$a + b + d = cu$ (x, y, u, v thuộc Z)
Ta có: $\begin{array}{l}
a + b + c > a + b + d\\
\Leftrightarrow dx > cu
\end{array}$
Mà $d<c$ nên $x>u$ (5)
Ta có: $\begin{array}{l}
a + d + c > b + d + c\\
\Leftrightarrow bv > ay
\end{array}$
Mà b < a nên v > y (6)
Ta có: $\begin{array}{l}
a + b + d > a + d + c\\
\Leftrightarrow cu > bv
\end{array}$
Mà $b > c$ nên $u > v$ (7)
Từ (5), (6), (7) suy ra x>u>v>y.
*Có: $a + b + c = dx$
$ \Leftrightarrow \frac{{a + b + c}}{d} = x$
$ \Leftrightarrow \frac{{a + b + c}}{d} + 1 = x + 1$
$ \Leftrightarrow \frac{{a + b + c + d}}{d} = x + 1$
$ \Leftrightarrow \frac{d}{{a + b + c + d}} = \frac{1}{{x + 1}}$ (1)
Ta làm tượng tự như vậy đối với $b + c + d = ay$
$a + d + b = cu$
$a + d + c = bv$
và lần lượt ra kết quả sau: $\frac{a}{{a + b + c + d}} = \frac{1}{{y + 1}}$ (2)
$\frac{c}{{a + b + c + d}} = \frac{1}{{u + 1}}$ (3)
$\frac{b}{{a + b + c + d}} = \frac{1}{{v + 1}}$ (4)
Ta cộng (1), (2), (3), (4) với nhau được:
$\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{u + 1}} + \frac{1}{{v + 1}} = 1$
Ta có: $d + b + c > a$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ay > a\\
\Leftrightarrow y > 1
\end{array}$
$ \Rightarrow y \ge 2\left( {y \in Z} \right)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y + 1 \ge 3\\
\Rightarrow \frac{1}{{y + 1}} \le \frac{1}{3}
\end{array}$ (8)
Ta làm tướng tự như vậy đối với u+1, v+1, x+1 sau đó cộng tất cả lại với nhau ta được
$\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{u + 1}} + \frac{1}{{v + 1}} \le \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2}$ $ = 0,95 < 1$. Điề này là vô lý vì $\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{u + 1}} + \frac{1}{{v + 1}} = 1$ (cmt)
Vậy tứ giác đó phải có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét
Nguyễn Ngọc Linh
lớp:8/5
Trường:Nguyễn Văn Nghi
Sửa comment
Xem bài giải của bạn: Nguyễn Ngọc Linh
Gọi tên các đỉnh của đa giác là \[{A_1},\,{A_2},\,{A_3},\,...,{A_{50}}\]
Vậy tổng của tất cả các tích 3 số trên 3 đỉnh liên tiếp bất kì không bằnh nhau là:\[\left( {{A_1}.{A_2}.{A_3}} \right) + \left( {{A_2}.{A_3}.{A_4}} \right) + ... + \left( {{A_{50}}.{A_1}.{A_2}} \right)\]
=> Có tất cả 50 nhóm, mỗi đỉnh lặp lại 3 lần. Do 3 đỉnh liên tiếp không cùng ghi 1 số nên trong mỗi nhóm có thể có 2 trrường hợp: hoặc có 2 đỉnh ghi số 1, 1 đỉnh ghi số 2(1) hoặc có 2 đỉnh ghi số 2, 1 đỉnh ghi số 1(2)
Gọi số nhóm rơi trong trường hợp (1) là c, số nhóm rơi trong trường hợp (2) là d.
Số đỉnh ghi số 1 (bị lặp lại 3 lần ) : 2c+d=20.3=60
Số đỉnh ghi số 2 (bị lặp lại 3 lần ) : 2d+c=30.3=90
=>c=10,d=40
Mỗi nhóm rơi vào trrường hợp 1 có tích các đỉnh là 2, mỗi nhóm rơi vào trường hợp 2 có tích vác đỉnh là 4
Do đó tổng cần tìm là 2c+4d=10.2+40.4=180
Bạn không được phép sửa comment!
Đã xem bài làm
Đã xem nhận xét